Не работает JS fetch() для WP ajaxurl.url, а jQuery.ajax() при этом работает.

Потому что для fetch нужно указать заголовок при котором данные попадут в $_POST массив PHP в итоге - application/x-www-form-urlencoded.

Если этого не сделать, то данные в PHP доступны только в php://input, а ajax WP с этим источником данных не работает - только с супер-глобальными переменными $_POST $_GET.

При этом данные передаваемые в body должны быть объектом URLSearchParams():

const requestData = {
	action : 'add_aplication', 
	info : 'some info'
}

const queryData = new URLSearchParams();
for ( const key in requestData ) {
	queryData.set( key, requestData[ key ] )
}

fetch(ajaxurl.url, {
	method: "POST",
	headers: {
		'Content-Type': 'application/x-www-form-urlencoded;charset=UTF-8'
	},
	body: queryData,
})
	 .then(response => response.text())
	 .then(response => {
		console.log(response);
	 });

Или FormData():

const form = document.querySelector( 'form.my-form' );

fetch( `${ajaxurl.url}?action=add_aplication`, {
	method: "POST",
	body: new FormData( form ),
} )
	 .then( response => response.text())
	 .then( response => {
		console.log(response);
	 } );