Можно ли изменить переменную в функции ядра?

$fields определяется прямо в функции.

function update_blog_details( $blog_id, $details = array() ) {
	.
	.
	.
	$fields = array( 'site_id', 'domain', 'path', 'registered', 'last_updated', 'public', 'archived', 'mature', 'spam', 'deleted', 'lang_id');
	.
	.
	.
}

Это я знаю, ты лучше опиши шире задачу, можт и не нужно менять $fields

Закидываю $blog_data в функцию update_blog_details( $id, $blog_data );
$blog_data получает такого вида

WP_Site Object ( 
[blog_id] => 1 [domain] => ***.com [path] => / 
[site_id] => 1 [registered] => 2018-07-10 02:19:46 
[last_updated] => 2018-07-12 23:44:25 [public] => 1 [archived] => 0 
[mature] => 0 [spam] => 0 [deleted] => 0 [lang_id] => 0 
[gorod] => yar
)

и получается [gorod] => yar функция не сохраняет в базу

Так не получится.
Хранить город можно в метаданных: add_site_option и get_site_option

Я задал в бд ячейку gorod и get_site( $id ) получается эти данные.
но теперь сохранить новые нужно

Не очень правильный у тебя подход, но раз уж так, то сделай..

$wpdb->update( $wpdb->blogs, ['gorod' => 'yar'], ['blog_id' => 1] );