Вывод подкатегорий из основной категории

Вот недавно делал похожее, только нужно было сделать меню из подрубрик, входящих в состав определенной рубрики:

/**
 * Вывод рубрик Услуг
 */
function the_services_navigations(){
  // Получить данные рубрик, в том числе и без записей, у которых родительская рубрика с ID = 6
  $cat_data = get_categories( array( 'parent' => 6, 'hide_empty' => 0 ) );
  if ( $cat_data ) {
	$cat_links = '';
	foreach ( $cat_data as $one_cat_data)
		$cat_links .= sprintf( '<a href="%s">%s</a>', get_category_link( $one_cat_data->term_id ) , $one_cat_data->cat_name );
	printf( '<div class="nav-cat">%s</div>', $cat_links ); 
  }
}

Так как Вам ещё нужно вывести по 5 постов, то нужно дополнить запрос на посты, с помощью get_posts.

Предположительное решение, нужно лишь ID родительской рубрики свой поставить:

<?php

// Получить данные рубрик, в том числе и без записей, у которых родительская рубрика с ID = 6
$cat_data = get_categories( array( 'parent' => 6 ) );

// Нсли подрубрики нашлись - начинаем их обработку
if ( $cat_data ) {

  foreach ( $cat_data as $one_cat_data ){

	// Возвращает название подрубрики в виде ссылки
	$block_cats = sprintf( '<div class="name-cat"><a href="%s">%s</a></div>', get_category_link( $one_cat_data->term_id ) , $one_cat_data->cat_name );

	// Получаем посты с подрубрики (они там 100% есть, потому что get_categories по дефолту получает только такие)
	$cat_posts_data = get_posts( array( 'category' => $one_cat_data->cat_ID ) );

	foreach ( $cat_posts_data as $one_cat_post_data ){

	  // Возвращает название записи в виде ссылки и сливает с предыдущими блоками (в том числе и блоком из "названия рубрики")
	  $block_cats .= sprintf( '<div class="name-post"><a href="%s">%s</a></div>', get_the_permalink( $one_cat_post_data->ID ) , $one_cat_post_data->post_title );

	}

  }

  // Выводим на экран название рубрики + 5 записей из неё ( см. дефолтные значения get_posts, можно увеличить )
  printf( '<div class="cat-block">%s</div>', $block_cats );

}

?>