Как вывести текущие дочерние категории?

Используйте функцию get_categories(). Указав параметр child_of

// если мы в категории
if( is_category() ){
	// получим ID текущей категории
	$current_cat_id = get_queried_object()->term_id;

	$args = array(
		'child_of'     => $current_cat_id,
		'orderby'      => 'name',
		'order'        => 'ASC',
		'hide_empty'   => 1,
		'hierarchical' => 1,
		'number'       => 0, // сколько выводить?
		// полный список параметров смотрите в описании функции http://wp-kama.ru/function/get_terms
	);

	$categories = get_categories( $args );

	// если категории нашлись
	if( $categories ){
		foreach( $categories as $cat ){
			// тут выводим HTMl каждого блока категории

			// Данные в объекте $cat

			// $cat->term_id
			// $cat->name (Рубрика 1)
			// $cat->slug (rubrika-1)
			// $cat->term_group (0)
			// $cat->term_taxonomy_id (4)
			// $cat->taxonomy (category)
			// $cat->description (Текст описания)
			// $cat->parent (0)
			// $cat->count (14)
			// $cat->object_id (2743)
			// $cat->cat_ID (4)
			// $cat->category_count (14)
			// $cat->category_description (Текст описания)
			// $cat->cat_name (Рубрика 1)
			// $cat->category_nicename (rubrika-1)
			// $cat->category_parent (0)

		}
	}

}